Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中，點A（8,0），點P（0，m），將線段PA繞著點P逆時針旋轉90°，得到線段PB，連接AB，OB，則BO+BA的最小值為 ．

Answer 1

【答案】8
【解析】如圖，過B作BD⊥y軸交于點D，則∠BPD+∠PBD=90°，
∵∠BPD+∠APO=90°，
∴∠PBD=∠APO，
又∵PA=PB，∠PDB=∠POA=90°，
所以△OAP≌△DPB，
則DP=OA=8，BD=OP=|m|，
則OD=OP+PD=|m|+8，
當m>0時，B（m,m+8）；
當m=0時，B（0,8）；
當m<0時，B（m,m+8）；
則點B（m,m+8）在直線y=x+8.

作點A關于直線y=x+8的對稱點A'，連接A'O
交直線y=x+8于點B，連接AB，此時AB+OB的值最小，即為OA’的長，連接AA'，
過A'作AF⊥y軸交于點F，直線y=x+8與y軸的交點為E（0,8）.
易求得△OAE≌△FA'E,
則A'F=OA=8，EF=OE=8，
則A'(-8,16).
所以OA'=.
則AB+OB的值最小為8.
故答案為8.

構造全等三角形，求出點B的坐標，從而得到點B的運動軌跡的一條直線，然后根據軸對稱圖形求最短徑的方法求解.