Question

【題目】如圖，已知點A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．
（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個交點為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點，求此切線長；
（3）點F是切線DE上的一個動點，當△BFD與△EAD相似時，求出BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣6）2+k；

∵拋物線經過點A（3，0）和C（0，9），

∴ ，

解得： ，

∴ ．

（2）

解：連接AE；

∵DE是⊙A的切線，

∴∠AED=90°，AE=3，

∵直線l是拋物線的對稱軸，點A，D是拋物線與x軸的交點，

∴AB=BD=3，

∴AD=6；

在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=62﹣32=27，

∴ ．

（3）

解：當BF⊥ED時；

∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，

∴△AED∽△BFD，

∴ ，

即 ，

∴ ；

當FB⊥AD時，

∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，

∴△AED∽△FBD，

∴ ，

即 ；

∴BF的長為 或 ．

【解析】（1）已知了拋物線的頂點橫從標，可將拋物線的解析式設為頂點坐標式，然后將A點、C點坐標代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切線，連接AE，那么根據切線的性質知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圓的半徑，即AE=OA=AB=3，而A、D關于拋物線的對稱軸對稱，即AB=BD=3，由此可得到AD的長，進而可利用勾股定理求得切線DE的長．
（3）若△BFD與△EAD相似，則有兩種情況需要考慮：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根據不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得BF的長．