Question

下圖是二次函數y=（x+m）²+k的圖象，其頂點坐標為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數的圖象上是否存在點P，使S_△PAB=

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S_△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由頂點坐標確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點坐標；
（2）設存在這樣的P點，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數表達式求得P點坐標；
（3）畫出翻轉后新的函數圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．

解答：解：（1）因為M（1，-4）是二次函數y=（x+m）²+k的頂點坐標，
所以y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
令x²-2x-3=0，
解之得x₁=-1，x₂=3．
∴A，B兩點的坐標分別為A（-1，0），B（3，0）；（4分）

（2）在二次函數的圖象上存在點P，使S△PAB=

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S△MAB，
設P（x，y），
則S△PAB=

1

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|AB|×|y|=2|y|，
又∵S△MAB=

1

2

|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=

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×8，即y=±5．
∵二次函數的最小值為-4，
∴y=5．
當y=5時，x=-2或x=4．
故P點坐標為（-2，5）或（4，5）；

（3）如圖，當直線y=x+b經過A（-1，0）時-1+b=0，可得b=1，又因為b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當直線y=x+b經過點B（3，0）時，3+b=0，則b=-3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為-3＜b＜1時，直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點．

點評：本題考查了由函數圖象確定坐標，以及給出面積關系求點的坐標和直線與圖象的交點問題，綜合體現了數形結合的思想．