【題目】如圖，在平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，
的三個頂點的坐標分別為
，
，
．
（1）畫出將向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度后得到的
；
（2）畫出將繞點
按順時針方向旋轉90°得到的
；
（3）在
軸上存在一點
，滿足點到點
與點
的距離之和最小，請直接寫出點的坐標．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）
．
【解析】
（1）先分別將A、B、C三點向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度得到
，然后連接
、
、
即可；
（2）根據題意，先將邊OC和OA繞點
順時針方向旋轉90°得到
、
，然后連接
即可；
（3）連接
交x軸于點P，根據兩點之間線段最短即可得出此時點
到點
與點
的距離之和最小，然后利用待定系數法求出直線的解析式，從而求出點P 的坐標．
解：（1）先分別將A、B、C三點向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度得到，然后連接、、，如圖所示，
即為所求；
（2）先將邊OC和OA繞點順時針方向旋轉90°得到、，然后連接，如圖所示，
即為所求；
（3）連接交x軸于點P，根據兩點之間線段最短，即可得出此時點到點與點的距離之和最小，
由平面直角坐標系可知：點A的坐標為（4,3），點的坐標為（3，-4）
設直線的解析式為y=kx＋b
將A、的坐標代入，得
解得：
∴直線的解析式為y=7x－25
將y=0代入，得
∴點P的坐標為．
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【題目】（1）把下面的證明補充完整
已知：如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，EG、FG交于點G．求證：EG⊥FG．
證明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠DFE=180°（______），
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE（已知），
∴______，______（______），
∴∠GEF+∠GFE=
（∠BEF+∠DFE）（______），
∴∠GEF+∠GFE=×180°=90°（______），
在△EGF中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°（______），
∴∠G=180°-90°=90°（等式性質），
∴EG⊥FG（______）．
（2）請用文字語言寫出（1）所證命題：______．
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【題目】教材中這樣寫道“我們把多項式
及
這樣的式子叫做完全平方式”如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形:先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法配方法是一種重要的解決數學問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決些與非負數有關的問題或求式子的最大值、最小值等．
例1.分解因式解：
解：
例2.求式子
的最小值，
解：
，
可知當
時，有最小值，最小值是
，
根據以上材料用配方法解決下列問題：
在實數范圍內分解因式：
；
當
為何值時，多項式
有最小值?并求出這個最小值．
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【題目】折紙不僅可以幫助我們進行證明，還可以幫助我們進行計算．小明取了一張正方形紙片，按照如圖所示的方法折疊（如圖①②③）：
重新展開后得到如圖所示的正方形ABCD（如圖④），BD、BE、EF為前面折疊的折痕．小亮觀察之后發現利用這個圖形可以求出45°、22.5°等角的三角函數值．請你直接寫出tan67.5°=_____．
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【題目】在同一水平線l上的兩根竹竿AB、CD，它們在同一燈光下的影子分別為BE、DF，如圖所示：（竹竿都垂直于水平線l）
（1）根據燈光下的影子確定光源S的位置；
（2）畫出影子為GH的竹竿MG（用線段表示）；
（3）若在點H觀測到光源S的仰角是∠α，且 cosα=
，GH=1.2m，請求出竹竿MG的長度．
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【題目】（12分）如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．
（1）求證：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．
①在旋轉過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數；
②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數，直接寫出結果不必說明理由．
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【題目】已知：
．
求作：
，使得
．
作法：
①以
為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交
，
于點
；
②畫一條射線
，以點
為圓心，
長為半徑畫弧，交于點
；
③以點為圓心，
長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點
；
④過點畫射線
，則．
根據上面的作法，完成以下問題：
（1）使用直尺和圓規，作出（請保留作圖痕跡）．
（2）完成下面證明的過程（注：括號里填寫推理的依據）．
證明：由作法可知
，
，
，
∴
≌
（ ）
∴．（ ）
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【題目】閱讀材料：“直角三角形如果有一個角等于
，那么這個角所對的邊等于斜邊的一半”，即“在
中，
，則
”．利用以上知識解決下列問題：如圖，已知
是
的平分線上一點．
（1）若
與射線
分別相交于點
,且
．
①如圖1，當
時，求證： 
；
②當
時，求
的值．
（2）若
與射線
的反向延長線、射線
分別相交于點
，且，請你直接寫出線段
三者之間的等量關系．
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【題目】某縣教育局為了了解學生對體育立定跳遠（
）、跳繩（
）、擲實心球（
）、中長跑（
）四個項目的喜愛程度（每人只選一項），確定中考體育考試項目，特對八年級某班進行了調查，并繪制成如下頻數、頻率統計表和扇形統計圖：
（1）求出這次調查的總人數；
（2）求出表中
的值；
（3）若該校八年級有學生1200人，請你算出喜愛跳繩的人數，并發表你的看法．
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