Question

如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D，若CD=CF，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：由于AD∥BC，易得△AEF∽△CBF，那么AE：BC=AF：FC，因此只需求得AF、FC的比例關系即可．可設AF=a，FC=b；在Rt△ABC中，由射影定理可知AB²=AF•AC，聯立CD=CF=AB，即可求得AF、FC的比例關系，由此得解．
解答：解：設AF=a，FC=b；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；
∴△AEF∽△CBF；
∴AE：BC=AF：FC=a：b；
Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：
AB²=AF•AC=a（a+b）；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=CF=b；
∴b²=a（a+b），即a²+ab-b²=0，（）²+（）-1=0
解得=（負值舍去）；
∴==．
點評：此題主要考查了矩形的性質、直角三角形及相似三角形的性質．能夠正確的在Rt△ABC中求得AF、FC的比例關系是解答此題的關鍵．