Question

如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB，AC上的一點，BE與CD交于點O，給出下列四個條件：
①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四個條件中，哪兩個可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）選擇第（1）題中的一種情形為條件，試說明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述條件中，若∠A=60°，BE平分∠B，CD平分∠C，則∠BOC的度數？

Answer 1

分析：（1）根據已知條件即可找到證明∠ABC=∠ACB的組合；
（2）要證△ABC是等腰三角形，就要證∠ABC=∠ACB，根據已知條件即可找到證明∠ABC=∠ACB的組合；
（3）根據等腰三角形的性質，利用三角形內角和定理即可求得∠BOC的度數．

解答：解：（1）上述四個條件中，①③，①④，②③，②④組合可判定△ABC是等腰三角形．
（2）選擇①③證明
∵∠DBO=∠ECO，BD=CE，∠DOB=∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）
∵∠A=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BE平分∠B，CD平分∠C，
∴∠OBC=∠OBC=30°，
∴∠BOC=180-30-30=120°，
答：∠BOC的度數為120°．

點評：此題主要考查利用等角對等邊來判定等腰三角形；題目對學生的要求比較高，利用等量加等量和相等是正確解答本題的關鍵．