Question

31、某鐵路施工隊在建設鐵路的過程中，需要打通一座小山（如圖），設計時要測量隧道AB的長度，恰好在山的前面有一片空地，測量人員想借助于這個有利的地形，利用三角形全等的知識測量出需要開挖的隧道長度，請你幫助測量人員設計測量方法，畫出圖形，并說明理由．（要求：至少兩種方法）

Answer 1

分析：根據圖形，通過作輔助線，結合全等三角形的相關知識解答．
設計一：首先過A作線段AD⊥AB于A，過D作DM⊥AD于D，然后取AD的中點C．連接BC并延長交DM于E，即DE為隧道的長．可通過證△ABC≌△DEC來驗證方案的合理性．
設計二：構造8字形的全等三角形來測得隧道的長．方案不唯一．

解答：解：設計一，如圖1，（1）過A作線段AD⊥AB；
（2）過D作DM⊥AD；
（3）取AD中點C，連接BC并延長交DM于E，則DE長就是隧道AB的長（2分）
理由：因為AD⊥AB，ED⊥AD，
所以∠A=∠D=90°，
又∵AC=CD，∠ACD=∠DCE．
所以△ABC≌△DEC，
所以AB=DE．（4分）
設計二，如圖2，（1）過A作線段AD；
（2）取AD中點C，連接BC并延長，使EC=BC；
（3）連接DE，則DE就是隧道AB的長．（6分）
理由：因為AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，
所以△ACB≌△DCE，所以AB=DE．（8分）
設計三，圖同圖l，第（2）步改為：作DM∥AB，其他同設計一．
理由：因為DM∥AB，所以∠A=∠D．又∠ACB=∠DCE，AC=CD．
所以△ACB≌△DCE．所以AB=DE．（每個圖2分）

點評：本題考查了三角形全等的應用：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．同時考查學生作圖的能力．