Question

在Rt△OAB中，∠AOB=90°，已知AB=，tan∠OAB=3，將△OAB繞點O按順時針方向旋轉90°得到△ODC，如圖1建立坐標系．
（1）寫出A、B、C三點坐標（不必寫過程）；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點，如圖2，M是拋物線的頂點，試判定△MCD的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的拋物線上，且在第一象限中，是否存在點P，使四邊形BDCP的面積W最大？若存在，請求出這個最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，已知AB長和∠OAB的正切值，通過解直角三角形能求出OA、OB的長，即可確定A、B的坐標．而△OCD是由△OAB旋轉所得，因此根據OC=OB即可確定點C的坐標．
（2）首先利用待定系數法確定拋物線的解析式，進而能求得點M的坐標．然后根據M、D、C三點的坐標，找出圖中相等的角，利用角之間的關系來判斷△MCD的形狀．
（3）根據拋物線的解析式，先設出點P的坐標，過P作x軸的垂線，那么四邊形BDCP的面積可由五邊形的面積（梯形+三角形）減去△OCD得到面積求得，根據所得函數的性質，即可判斷出是否存在W的最大值．
解答：解：（1）Rt△OAB中，AB=，tan∠OAB=3，
∴OA=1，OB=3，即：A（-1，0）、B（0，3）；
∵△OCD是由△OAB繞點O按順時針方向旋轉90°所得
∴OC=OB=3，即：C（3，0）；
綜上，A（-1，0）、B（0，3）、C（3，0）．

（2）設拋物線的對稱軸與線段CD交于點F、與x軸交于點G，過點D作DE⊥MG于E，如右圖；
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點B的坐標，得：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-（x+1）²+4，即 M（1，4）；
由題意知：OD=OA=1，則 D（0，1）；
∴E（1，1）、G（1，0）；
∴DE=1，ME=4-1=3
∴tan∠DME===tan∠DCO，即：∠DME=∠DCO，
又∵∠MFD=∠CFG，
∴∠MDF=∠FGC=90°，即△MCD是直角三角形．

（3）過點P作PN⊥x軸于N，如右圖；
設點P（x，-x²+2x+3），則：PN=-x²+2x+3、ON=x、CN=3-x；
由圖知：S_{四邊形BPCD}=S_梯形BPNO+S_△PNC-S_△OCD，則有：
W=×[3+（-x²+2x+3）]×x+×（-x²+2x+3）×（3-x）-×1×3
=-x²+x+3
=-（x-）²+
∴存在符合條件的點P，且W的最大值為：．
點評：題目考查了圖形的旋轉、函數解析式的確定、特殊三角形的判定以及圖形面積的解法等綜合知識，在解題過程中，要注意數形結合思想的合理應用，難度適中．