Question

如圖，點D在△ABC的邊BC上，且與B，C不重合，過點D作AC的平行線DE交AB于E，作AB的平行線DF交AC于點F．又知BC=5．
（1）設△ABC的面積為S．若四邊形AEFD的面積為；求BD長．
（2）若；且DF經過△ABC的重心G，求E，F兩點的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中條件可得△BDE∽△BCA∽△DCF，由相似三角形可得其面積比與對應邊長的比的關系，進而再由題中的已知條件，求解其長度即可；
（2）由平行線可得對應線段的比，通過線段之間的轉化以及角的相等，可得△DEF∽△ABC，由其對應邊成比例可得線段EF的長．
解答：解：如圖，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
記S_△BDE=S₁，S_△DCF=S₂，
∵S_AEFD=S，
∴S₁+S₂=S-S=S．①
=，=，
于是+==1，即+=，
兩邊平方得S=S₁+S₂+2，
故2=S_AEFD=S，即S₁S₂=S²．②
由①、②解得S₁=S，即=．
而=，即=，解得BD===．

（2）由G是△ABC的重心，DF過點G，且DF∥AB，可得=，則DF=AB．
由DE∥AC，=，得DE=AC，
∵AC=AB，∴=，==，
得=，即=，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得=，所以EF=．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質以及三角形的重心的一些基本知識，能夠掌握并熟練運用．