Question

如圖，點D在△ABC的邊BC上，DC=AC=BD，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連接EF．
（1）求證：△AEF∽△ABD．
（2）若△AEF的面積為1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由DC=AC，CF是∠ACB的平分線，根據等腰三角形三線合一的性質，可得AF=DF，又由點E是AB的中點，即可得EF是△ABD的中位線，根據三角形中位線的性質，可得EF∥BD，即可得△AEF∽△ABD；
（2）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得△ABD的面積，又由DC=BD，即可得S_△ABC=2S_△ABD．

解答：（1）證明：∵DC=AC，CF是∠ACB的平分線，
∴AF=DF，
∵點E是AB的中點，
即AE=BE，
∴EF是△ABD的中位線，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；

（2）∵△AEF∽△ABD，
∴

S△AEF

S△ABD

=(

AE

AB

)2，
∵AE=

1

2

AB，S_△AEF=1，
∴S_△ABD=4，
∵BD=CD，
∴S_△ABC=2S_△ABD=8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、三角形中位線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用．