Question

（1）已知9+

13

與9-

13

的小數部分分別是a和b，求ab-3a+4b+8的值；
（2）設x=

n+1 - n

n+1 + n

，y=

n+1 + n

n+1 - n

，n為自然數，如果2x²+197xy+2y²=1993成立，求n．

Answer 1

分析：（1）比較

9

、

13

和

16

大小，確定9+

13

與9-

13

的取值范圍，進一步確定a與b的值，代入即可求出ab-3a+4b+8的值；
（2）利用完全平方公式把2x²+197xy+2y²=1993轉化為2（x+y）²+193xy=1993，根據題意可求出n的值．

解答：解：∵

9

＜

13

＜

16

，
∴12＜9+

13

＜13，
得9+

13

=12+a，
a=

13

-3，
同理可得b=4-

13

，
把a、b代入ab-3a+4b+8得，
（

13

-3）（4-

13

）-3（

13

-3）+4（4-

13

）+8=8，
故ab-3a+4b+8的值為8．

（2）x+y=

n+1 - n

n+1 + n

+

n+1 + n

n+1 - n

=4n+2，
xy=

n+1 - n

n+1 + n

×

n+1 + n

n+1 - n

=1，
2x²+197xy+2y²=1993=2（x+y）²+193xy=1993
∴2（4n+2）²+193=1993，
（4n+2）²=900，
∵n＞0，
∴n=7，
故n的值是7．

點評：主要考查二次根式的有理化．根據二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．