Question

12．已知關于x的一元二次方程（x-1）（x-2）-m²=0
（1）請說明對于任意實數m方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程兩實數根為x₁，x₂，且滿足（x₁+x₂）²=3-x₁x₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先把方程（x-1）（x-2）-m²=0變形為x²-3x+2-m²=0，得出△=9-4（2-m²）=3+4m²＞0，即可得出答案；
（2）利用根與系數的關系可以得到x₁+x₂=3，x₁•x₂=2-m²，代入（x₁+x₂）²=3-x₁x₂，即可得到結果．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程（x-1）（x-2）-m²=0，
∴x²-3x+2-m²=0，
∴△=9-4（2-m²）=1+4m²＞0，
∴對于任意實數m，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）∵方程兩實數根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=2-m²，
∵（x₁+x₂）²=3-x₁x₂，
∴9=3-2+m²，
∴m=±2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac和一元二次方程的根與系數的關系：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．