Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．

（1）求直線BM的解析式；

（2）求過A、M、B三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使△PMB構成以BM為直角邊的直角三角形？若沒有，請說明理由；若有，則求出一個符合條件的P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4．（2）y=-x2-x+4；（3）見解析（-）（-）．

【解析】

（1）根據MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三點的作坐標，根據待定系數法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式．

（2）根據（1）中A、M、B三點的作坐標，根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．

（3）過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點即為P點，因而符合條件的P點是存在的．當∠PMB=90°時，過P作PH⊥DC交于H，則可證△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以設HM=4a（a＞0），則PH=3a，則P點的坐標為（-4a，4-3a）．將P點的坐標代入y=-x2-+4就可以求出a的值，進而求出P點的坐標．

解：（1）∵MO=MD=4，MC=3，

∴M、A、B的坐標分別為（0，4），（-4，0），（3，0）

設BM的解析式為y=kx+b；

則，解得：

∴BM的解析式為y=x+4．

（2）設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-3）

將M（0，4）的坐標代入得a=-

∴y=-（x+4）（x-3）=-x2-x+4

（3）設拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形．

①過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H，

∴∠PMB=90°，

∴∠PMH=∠MBC，

∴△MPH∽△BMC，

∴PH：HM=CM：CB=3：4

設HM=4a（a＞0），則PH=3a

∴P點的坐標為（-4a，4-3a）

將P點的坐標代入y=-x2-x+4得：

4-3a=-（-4a）2-×（-4a）+4

解得a=0（舍出），a=，

∴P點的坐標為（-，）

②或者，拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形．

過M作MB的垂線與拋物線交于P，設P的坐標為（x0，y0），

由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，

過P作PH⊥DC交于H，則MH=-x0，PH=4-y0

∴由tan∠PMD=tan∠MBC

得=，

∴=+4

∴+4=--+4

∴，=0（舍去）

∴=（）+4=，

∴P點的坐標為（，）

類似的，如果過B作BM的垂線與拋物線交于點P，

設P的坐標為（x0，y0），

同樣可求得=-，

由-=--+4

∴，=3（舍去）

=（）-=-

這時P的坐標為（，-）．