Question

【題目】問題發現

（1）如圖①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為　 　；

（2）如圖②，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點M、點N分別在ED、BC上，求CM+MN的最小值；

（3）如圖③．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E是AB邊上一點，且AE＝4，點F是EC邊上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若在在，求這個最小值及此時BF的長度．若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】

（1）根據點到直線的距離最小，再用三角形的面積即可得出結論；

（2）先根據軸對稱確定出點M和N的位置，再利用面積求出CF，進而求出CE，最后用三角函數即可求出CM+MN的最小值；

（3）先確定出EG⊥AC時，四邊形AGCD的面積最小，再用銳角三角函數求出點G到AC的距離，最后用面積之和即可得出結論，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．

解：（1）如圖①，過點C作CD⊥AB于D，根據點到直線的距離垂線段最小，此時CD最小，

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根據勾股定理得，AB＝10，

∵AC×BC＝AB×CD，

∴CD＝＝，

故答案為：；

（2）如圖②，作出點C關于BD的對稱點E，過點E作EN⊥BC于N，交BD于M，連接CM，此時CM+MN＝EN最小；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，根據勾股定理得，BD＝10，

∵CE⊥BC，

∴BD×CF＝BC×CD，

∴CF＝＝，

由對稱得，CE＝2CF＝，

在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，

∴sin∠BCF＝，

在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝；

即：CM+MN的最小值為：；

（3）如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∠ABC＝∠D＝90°，根據勾股定理得，AC＝10，

∵AB＝6，AE＝4，

∴點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，

設點G到AC的距離為h，

∵S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×8×6+×10×h＝5h+24，

∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，

∵點G是以點E為圓心，BE＝2為半徑的圓上在矩形ABCD內部的一部分點，

∴EG⊥AC時，h最小，

由折疊知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延長EG交AC于H，則EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，

在Rt△AEH中，AE＝4，sin∠BAC＝＝，

∴EH＝AE＝，

∴h＝EH﹣EG＝﹣2＝，

∴S四邊形AGCD最小＝5h+24＝5×+24＝30，

過點F作FM⊥AC于M，

∵EH⊥FG，EH⊥AC，

∴四邊形FGHM是矩形，

∴FM＝GH＝

∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，

∴△CMF∽△CBA，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝2，

∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6．