Question

已知x、y均為實數，且滿足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代數式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

Answer 1

由已知條件可知xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的兩個實數根，由t₁=6，t₂=11
得

xy=6 x+y=11

或

xy=11 x+y=6

當xy=11，x+y=6時，x、y是方程v²-6v+11=0的兩個根
∵△₁=36-44＜0
∴此方程沒有實數根
當xy=6，x+y=11時，x、y是方程u²-11u+6=0的兩個根
∵△₂=121-24＞0
∴此方程有實數根，這時x²+y²=（x+y）²-2xy=109
∴x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=x⁴+y⁴+x²y²+xy（x²+y²）=（x²+y²）²-x²y²+xy（x²+y²）=12499．