Question

【題目】勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣，1955年希臘發行了兩枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理，如圖的勾股圖中，已知，，.作四邊形，滿足點、在邊上，點、分別在邊，上，，、是直線與，的交點．那么的長等于(　　)

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根據勾股定理求出BC的長，雙向延長線段AB交PM于點O，交QN于點R，則AO⊥MP，BR⊥QN，如圖1，然后根據平角的定義、直角三角形的性質和等量代換可得∠4=∠5，根據SAS易證△ABC≌△DFC，可得DF=AB=5，∠6=∠1，∠8=∠5，進而可得∠7=∠4，于是有PD=PE，作PS⊥DE于點S，如圖2，則在Rt△PDS中，利用三角函數的知識可求出PD的長，作QW⊥FG于點W，同理可求出FQ的長，進一步即可求出結果．

解：在△ABC中，∵，，，

∴，

雙向延長線段AB交PM于點O，交QN于點R，則AO⊥MP，BR⊥QN，如圖1，

由題意得：∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1+∠5=90°，

∴∠4=∠5，

∵AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，CF=CB，

∴△ABC≌△DFC（SAS），

∴DF=AB=5，∠6=∠1，∠8=∠5，

∵∠6+∠7=90°，∠6+∠8=90°，

∴∠7=∠8，

∴∠7=∠4，

∴PD=PE，

作PS⊥DE于點S，如圖2，則，

在Rt△PDS中，；

同理可得：QF=QG，∠9=∠1，

作QW⊥FG于點W，則，

在Rt△FQW中，；

∴．

故選：A．