Question

【題目】如圖1，△ABC中，CD為△ABC的中線，點E在CD上，且∠AED＝∠BCD．

（1）求證：AE＝BC．

（2）如圖2，連接BE，若AB＝AC＝2DE，∠CBE＝14°，則∠ACD的度數為　 　（直接寫出結果），

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）28°．

【解析】

（1）延長CD到F使DF=CD，連接AF，由CD是△ABC的中線，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根據全等三角形的性質得到∠F=∠BCD，BC=AF，由等腰三角形的性質，利用等量代換即可得到結論；

（2）根據DE＝AB，CD為△ABC的中線，得DE＝AD＝DB，∠DEB＝∠DBE，可求得∠ABC=∠DEB+14°，并∠DEB＝∠DCB+∠CBE，的∠DCB＝∠DEB﹣14°，利用AC＝AB，得∠ACB＝∠ABC＝∠DEB+14°，即可得∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝28°.

證明：（1）如圖1，延長CD到F，使DF＝CD，連接AF，

∵CD為△ABC的中線，

∴AD＝BD，且∠ADF＝∠BDC，且CD＝DF，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴AF＝BC，∠F＝∠BCD，

∵∠AED＝∠BCD，

∴∠AED＝∠F，

∴AE＝AF，

∴AE＝BC；

（2）

∵DE＝AB，CD為△ABC的中線，

∴DE＝AD＝DB，

∴∠DEB＝∠DBE，

∴∠ABC＝∠DBE+∠CBE＝∠DEB+14°，

∵∠DEB＝∠DCB+∠CBE，

∴∠DCB＝∠DEB﹣14°，

∵AC＝AB，

∴∠ACB＝∠ABC＝∠DEB+14°

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝（∠DEB+14°）-（∠DEB﹣14°）=28°，

故答案為：28°．