Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=，以點A為圓心，AC為半徑，作⊙A，交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線EF，交⊙A于點F，連接AF，BF，DF.

（1）求證：BF是⊙A的切線；

（2）當∠CAB等于多少度時，四邊形ADFE為菱形？請給與證明.

（3）若EF=1，AE=2，求cos∠CBA的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CAB=，四邊形ADFE為菱形，理由見解析.（3）

【解析】

（1）根據平行線的性質得∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，加上∠E=∠EFA，則∠FAB=∠CAB，于是可判斷△ABC≌△ABF，從而得到∠AFB=90°，然后根據切線的判定方法可判斷BF是⊙A的切線；

（2）當∠CAB=60°，則∠FAB=∠EAF=60°，于是可證△AEF和△ADF都為等邊三角形，所以AE=EF=AD=DF，然后根據菱形的判定方法可判斷此時四邊形ADFE是菱形;

(3)連接FC，證明∠ACF=∠CBA即可.

（1）證明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF（SAS），

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AF，

∵AF是⊙A的半徑，

∴BF是⊙A的切線；

（2）解：當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形．

理由如下：∵∠CAB=60°，

∴∠FAB=∠EAF=60°，

∵AE=AF=AD，

∴△AEF和△ADF都為等邊三角形，

∴AE=EF=AD=DF，

∴四邊形ADFE是菱形．

（3）連FC，

∵EC為直徑，

∴∠EFC=90°

∵EF=1，AE=2，

∴FC=，

∵A為EC的中點，EF∥AB，

∴AB垂直平分線FC，交AB于P，則CP=

又∠ABC=∠ACP

cos∠ABC=∠ACP==