Question

【題目】如圖，點D是以AB為直徑的半圓O上一點，連接BD，點C是的中點，過點C作直線BD的垂線，垂足為點E．

求證：（1）CE是半圓O的切線；

（2）BC2＝ABBE．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠ABC＝∠DBC，根據等腰三角形的性質得到∠OCB＝∠OBC，等量代換得到∠OCB＝∠CBD，推出OC∥BD，根據平行線的性質得到OC⊥CE，于是得到結論；

（2）連接AC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB＝90°，根據相似三角形的性質即可得到結論．

證明：（1）連接OC，

∵點C是的中點，

∴，

∴∠ABC＝∠DBC，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBD，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BE，

∴OC⊥CE，

∴CE是半圓O的切線；

（2）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥BE，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠CBD，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴BC2＝ABBE．