Question

如果一個點能與另外兩個點構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點
【小題1】如圖1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，請在邊CD上作出A，B兩點（除C,D以外）的勾股點（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

（1）      【小題2】如圖2，矩形ABCD中，

AB＝12cm，BC＝4 cm，DM＝8 cm，AN＝5 cm．動點P從D點出發沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動．設運動時間為t(s) ，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．
①當t＝4，求PH的長．
②探究滿足條件的點H的個數（直接寫出點H的個數及相應t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

【小題1】以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個 ----------1分
【小題2】①當t＝4時，有3個勾股點.如圖，

PH＝或PH＝2或PH＝3 ．每種情況各1分 --3分
②當0≤ t＜4時，有2個勾股點；
當t＝4時，有3個勾股點；
當4＜t＜5時，有4個勾股點；
當t＝5時，有2個勾股點；
當5＜t＜8時，有4個勾股點；
當t＝8時，有2個勾股點．      -------------------------5分
（除①的情況，其余每種1分）
綜上所述，當0≤ t＜4或t＝5或t＝8時，有2個勾股點；當t＝4時，有3個勾股點；當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點．解析:
（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點就是A，B兩點在CD上的勾股點；
（2）①如圖，當t=4時，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三種情況：
當∠MHN=90°時，根據已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對應線段成比例即可求出PH；
當∠H''NM=90°時，設PH=x，那么H''Q=4-x，根據勾股定理得到PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，而MN==5，依次即可求出PH''；
當∠H'MN=90°時，根據勾股定理得到H'P²+PM²+QH'²+QN²=MN²，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．
②利用①的結果可以探究滿足條件的點H的個數及相應t的取值范圍．