Question

已知，如圖，菱形ABCD的一邊BC在x軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)（0，

3

）．反比例函數(shù)y=

k

x

過(guò)菱形的頂點(diǎn)A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若P為反比例函數(shù)在第四象限的圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸上，問(wèn)是否存在點(diǎn)P、Q，使得四邊形CDQP為矩形？若存在，求出P和Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)C（-1，0），D（0，

3

）求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

即可求出k的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)Q（x，0），P（a，b），在Rt△CDQ中根據(jù)勾股定理可求出x的值，進(jìn)而得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)矩形CDQP的中點(diǎn)為O，求出O點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)線段DP的中點(diǎn)也是O點(diǎn)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵C（-1，0），D（0，

3

），
∴CD=

(-1)2+( 3 )

2=2，
∴A（-2，

3

），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴k=（-2）×

3

=-2

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

2 3

x

；

（2）存在．
若四邊形CDQP為矩形，設(shè)Q（x，0），P（a，b），
∵∠CDQ=90°，
∴CD²+DQ²=CQ²，即4+3+x²=（x+1）²，
解得x=3，
∴Q（3，0），
∵CQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴線段PD的中點(diǎn)必是（1，0）
∴

a

2

=1，

3 +b

2

=0，
解得a=2，b=-

3

，
∴P（2，-

3

）．
∴點(diǎn)P（2，-

3

）滿足反比例函數(shù)y=-

2 3

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到矩形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．