Question

14．已知△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，D是BA邊上一點（點D不與A，B重合），M是CA中點，當以CD為直徑的⊙O與BA邊交于點N，⊙O與射線NM交于點E，連接CE，DE．
（1）求證：BN=AN；
（2）猜想線段CD與DE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理求出∠CND=90°，根據等腰三角形的性質得出即可；
（2）根據直角三角形斜邊上中線性質求出CN=AN，根據等腰三角形性質求出∠CNM=45°，根據圓周角定理求出∠CED=90°，∠CDE=∠CNE=45°，根據勾股定理求出即可．

解答 （1）證明：∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CND=90°，
∴CN⊥AB，
∵BC=AC，
∴BN=AN；

（2）解：CD=$\sqrt{2}$DE，
理由如下：∵△ABC中，∠BCA=90°，BN=AN，
∴CN=AN，
∵點M是CA中點，
∴NM平分∠CNA，
∵∠CNA=90°，
∴∠CNM=45°，
∴∠CDE=∠CNE=45°，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE=45°=∠CDE，
∴DE=CE，
∵CE²+DE²=CD²，
∴CD=$\sqrt{2}$DE．

點評 本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上中線性質，圓周角定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．