Question

15．如圖，任意畫一個∠A=60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點P，連接AP，有以下結論：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC，其中正確的個數是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由三角形內角和定理和角平分線得出∠PBC+∠PCB的度數，再由三角形內角和定理可求出∠BPC的度數，①正確；由∠BPC=120°可知∠DPE=120°，過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分線的性質可知AP是∠BAC的平分線，②正確；PF=PG=PH，故∠AFP=∠AGP=90°，由四邊形內角和定理可得出∠FPG=120°，故∠DPF=∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD=PE；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH=BD+DF，CH=CE-GE，再由DF=EG可得出BC=BD+CE，④正確；可得出S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC⑤正確；即可得出結論．

解答 解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，①正確；
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴AP是∠BAC的平分線，②正確；PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，在△PFD與△PGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFP=∠EGP=90°}&{\;}\\{PF=PG}&{\;}\\{∠DPF=∠EPG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD=PE，
在Rt△BHP與Rt△BFP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{PF=PH}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
兩式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，④正確；
∴S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC，⑤正確；
正確的個數有4個，故選：C．

點評 本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．