Question

已知：二次函數的圖象與軸交于兩點(點在點的左側)，與軸交于點對稱軸是直線且圖象向右平移一個單位后經過坐標原點

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)直線交軸于點，為拋物線頂點.若求的值.

(3)在(2)問的前提下，為拋物線對稱軸上一點，且滿足在軸右側的拋物線上是否存在點使得的面積等于若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)由題意，

對稱軸是直線

∴……………………………………………………………………1分

把，分別代入得……………2分

解得

       ∴這個二次函數的解析式為………………………………3分

(2)直線與軸交于，∴

由得

連接過作軸于(如圖1)，則

拋物線與軸交于

∴

∴

,

∴

_{[來源:Zxxk.Com]}

∴

∴……

∴

∴

(3)設

`     

∴ 即

解得

∴

∴ ………………………………8分

法一：設存在符合條件的點則

①當在直線上側時，連接(如圖1)，

則

即

整理，得

解得(舍去)，

把代入得

∴……………………………………10分

②當在直線下側時，不妨叫連接(如圖1)，

則

即

整理，得

解得(舍去)

把代入得

∴

綜上所述，存在符合條件的點其坐標為或.

………………………………………………………………12分

法二：設存在符合條件的點則

①當在直線上側時，過作軸，

交于(如圖2)

設到距離分別為則

即

整理，得

解得(舍去)，

把代入得

∴……………………………………10分

②當在直線下側時，不妨叫過作軸，交于(如圖2)

設到距離分別為則

即

整理，得

解得(舍去)

把代入得

∴

綜上所述，存在符合條件的點其坐標為或.…………12分

法三：①當在直線上側時，過作交軸于連接(如圖3)

則,即

∴

∴

∴直線解析式為

聯立得或

在軸右側, ∴坐標為

…………………………………………10分

②當在直線下側時，不妨叫過作，交軸于

連接(如圖3)，同理可得

∴

∴直線解析式為

聯立得或

在軸右側，∴坐標為

綜上所述，存在符合條件的點其坐標為或.