Question

14．已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，A、C兩點的坐標分別為（-3，0）（1，0）．
（1）求此拋物線的函數關系式；
（2）動點Q從點A出發，以每秒3個單位長度的速度在線段AC上向終點C運動，同時動點M從O點出發以每秒2個單位長度的速度在線段OB上向終點B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點即停止運動，過點Q作x軸的垂線交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當四邊形OMPQ是矩形，求滿足條件的t的值；
②連結QM、BC，當△QOM與以點O、B、C為頂點的三角形相似時，t的值為$\frac{1}{3}$或$\frac{9}{11}$或$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、C兩點，A、C兩點的坐標分別為（-3，0）（1，0），可以求得拋物線的解析式；
（2）①根據四邊形OMPQ是矩形，可知點P的縱坐標等于點M的縱坐標，從而可以求得相應的t的值；
②根據已知條件可知兩個三角形相似時，存在三種情況，然后畫出相應的圖形，分類進行解答解可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、C兩點，A、C兩點的坐標分別為（-3，0）（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴拋物線的函數關系式為：y=-x²-2x+3；
（2）①當四邊形OMPQ是矩形時，
∵由題意可得，點Q的坐標為（-3+3t，0），點M的坐標為（0，2t），點P在y=-x²-2x+3上，PQ⊥x軸，
∴點P的坐標為（-3+3t，-（-3+3t）²-2（-3+3t）+3），
∴-（-3+3t）²-2（-3+3t）+3=2t，
解得，t=0或t=$\frac{10}{9}$，
故當四邊形OMPQ是矩形時，t的值為$\frac{10}{9}$；
②連結QM、BC，當△QOM與以點O、B、C為頂點的三角形相似時，存在三種情況，
第一種情況，當∠OQM=∠OBC，∠QOM=∠BOC時，如下圖一所示，

由已知可得，點Q的坐標為（-3+3t，0），點M的坐標為（0，2t），點C的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3）
則OQ=3-3t，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OBC，∠QOM=∠BOC，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OB}=\frac{OM}{OC}$，
即$\frac{3-3t}{3}=\frac{2t}{1}$，
解得，t=$\frac{1}{3}$；
第二種情況，當∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，如下圖二所示，

由已知可得，點Q的坐標為（-3+3t，0），點M的坐標為（0，2t），點C的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3）
則OQ=3-3t，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
即$\frac{3-3t}{1}=\frac{2t}{3}$，
解得，t=$\frac{9}{11}$；
第三種情況，當∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，如下圖三所示，

由已知可得，點Q的坐標為（-3+3t，0），點M的坐標為（0，2t），點C的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3）
則OQ=3t-3，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
即$\frac{3t-3}{1}=\frac{2t}{3}$，
解得，t=$\frac{9}{7}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$或$\frac{9}{11}$或$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、求二次函數的解析式、矩形的性質、三角形的相似、分類討論的數學思想，解題的關鍵是明確題意，會求二次函數的解析式，根據矩形的性質，利用數形結合的思想解答相關問題，利用三角形的相似和分類討論的數學思想解答問題．