Question

25、如圖所示，一個正方形池塘邊長12m，在池塘邊AB上的點E處有一顆果樹，池塘邊BC上的點F處也有一顆果樹，兩顆果樹的距離EF=AE+FC．
①你能知道這兩顆果樹之間的距離嗎？算算看！
②試著求出∠EDF的度數．

Answer 1

分析：（1）兩顆果樹之間的距離不是固定值（只要∠EDF的度數是45°，兩顆果樹的距離都是EF=AE+FC）
（2）延長FC到G，使得CG=AE，連接DG．證明△DCG≌△DAE．從而△DEF≌△DGF，∠EDG=90°，于是∠EDF=45°

解答：解：如圖；
將△ADE逆時針旋轉90°，使得AD、DC重合，得△DCG；
則CG=AE，EF=FG=AE+CF；
又∵DE=DG，DF=DF，
∴△DEF≌△DGF（SSS）；
（1）設AE=x，CF=y；
則BE=12-x，BF=12-y，EF=x+y；
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
（12-x）²+（12-y）²=（x+y）²，
解得：xy+12（x+y）=144，兩個未知數一個方程，不能確定x+y的取值，故EF非定值．
（2）由△DEF≌△DGF，得：∠EDF=∠FDG；
而∠EDG=∠EDC+∠CDG=∠EDC+ADE=90°，則∠EDF=45°．

點評：本題考查的知識點：三角形的全等，勾股定理及方程思想的應用．