Question

如圖，已知點(diǎn)A、B在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC與BD交于點(diǎn)P，P是AC的中點(diǎn)．
（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
（2）若△ABP的面積為3，求該雙曲線的解析式．

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形Rt△ADP≌Rt△CDP可以判定AD=CD；同理求得AB=BC、AD=AB；所以AB=BC=AD=CD，從而推知四邊形ABCD是菱形；
（2）由△ABP的面積為3，知BP•AP=6．根據(jù)反比例函數(shù) y=kx中k的幾何意義，知本題k=OC•AC，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件P是AC的中點(diǎn)，得出OC=BP，AC=2AP，進(jìn)而求出k的值．

解答：解：（1）菱形．
理由：連接AD、CD、BC；
∵AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴AC⊥BD；
設(shè)A（m，n），則mn=k，P（m，

1

2

n），
B點(diǎn)縱坐標(biāo)為

1

2

n，橫坐標(biāo)為

k

1 2 n

=

2mn

n

=2m，
∴PD=PB，
又AP=PC，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵△ABP的面積為

1

2

•BP•AP=3，
∴BP•AP=6，
∵P是AC的中點(diǎn)，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，
又∵點(diǎn)A、B都在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，
∴OC=DP=BP，
∴k=OC•AC=BP•2AP=12．
∴該雙曲線的解析式是：y=

12

x

．

點(diǎn)評：主要考查了反比例函數(shù) y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．