Question

（1）如圖1，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，
求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的

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3

．
（2）如圖2，若∠DOE保持120°角度不變，
求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的

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3

．

Answer 1

分析：（1）本題要依靠輔助線的幫助．連接OA，OC，證明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S_△OAC=

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S_△ABC，易證S_OFCG=

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3

S_△ABC．
（2）本題有多種解法．連接OA，OB和OC，證明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之間的關系即可．

解答：證明：（1）如圖1，連接OA，OC；
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
∵點O是等邊三角形ABC的外心，
∴CF=CG=

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2

AC，∠OFC=∠OGC=90°，
∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，

CF=CG OC=OC

，
∴Rt△OFC≌Rt△OGC．
同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S_{四邊形OFCG}=2S_△OFC=S_△OAC，
∴S_△OAC=

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3

S_△ABC，
∴S_{四邊形OFCG}=

1

3

S_△ABC．

（2）證法一：
連接OA，OB和OC，則
△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；
設OD交BC于點F，OE交AC于點G，
∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5；
在△OAG和△OCF中

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠5

，
∴△OAG≌△OCF，
∴S_△OAG=S_△OCF，
∴S_△OAG+S_△OGC=S_△OCF+S_△OGC，
即S_{四邊形OFCG}=S_△OAC=

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S_△ABC；

證法二：
設OD交BC于點F，OE交AC于點G；
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分別為H、K；
在四邊形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，
∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°，
即∠1+∠2=120度；
又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
∵AC=BC，
∴OH=OK，
∴△OGK≌△OFH，
∴S_{四邊形OFCG}=S_{四邊形OHCK}=

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3

S_△ABC．

點評：本題涉及三角形的外接圓知識及全等三角形的判定，難度偏難．