Question

反比例函數y=在第四象限的雙曲線上有一點A，AB⊥x軸于B，OA=10，OB：AB=3：4
（1）求反比例函數的解析式；
（2）將OB沿OC對折，使它落在斜邊OA上與OD重合，求C點坐標？
（3）在x軸上是否存在點P使△POC為等腰三角形？不存在，說明理由；若存在，直接寫出P的坐標（3個即可）

Answer 1

解：（1）∵Rt△OAB中，OA=10，OB：AB=3：4，
∴設OB=3x，AB=4x，
∴（3x）²+（4x）²=10²，解得x=2，
∴OB=6，AB=8，即A（6，-8），B（6，0），
∵點A在反比例函數y=的圖象上，
∴k=6×（-8）=-48，
∴反比例函數的解析式為：y=-；

（2）∵△ODC由△OBC反折而成，
∴OD=OB=6，BC=DC，
∵OA=10，
∴AD=OA-OD=10-6=4，
設BC=a，則AC=8-a，
在Rt△ACD中，AD²+CD²=AC²，即4²+a²=（8-a）²，解得a=3，
∴C（6，-3）；

（3）設P（p，0），
∵C（6，-3），
∴OC==3，
當OP=OC時，OP=3，
∴P₁（3，0），P₂（-3，0）；
當OP=PC時，p²=（p-6）²+（-3）²，解得p=，
∴P₃（，0）；
當OC=PC時，（p-6）²+3²=（3）²，解得p=12或p=0（舍去），
∴P₄（12，0）．
綜上所述，P₁（3，0），P₂（-3，0），P₃（，0），P₄（12，0）．
分析：（1）先根據Rt△OAB中，OA=10，OB：AB=3：4可設OB=3x，AB=4x，由勾股定理可求出x的值，故可求出A、B兩點的坐標，OB及AB的長，由此即可求出反比例函數的解析式；
（2）根據圖形反折變換的性質可知，OD=OB=6，BC=CD，故可得出AD的長，設BC=a，則AC=8-a，在Rt△ACD中利用勾股定理可求出a的值，進而得出C點坐標；
（3）設P（p，0），由于等腰三角形的兩腰不能確定，故應分OP=OC，OP=PC，OC=PC三種情況進行分類討論．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、勾股定理及等腰三角形的性質等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．