Question

如圖，⊙O上三點A、B、C，AB=AC，∠ABC的平分線交⊙O于點E，∠ACB的平分線交⊙O于點F，BE和CF相交于點D，四邊形AFDE是菱形嗎？驗證你的結論．

Answer 1

分析：菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．先證四邊形AFDE是平行四邊形，再證AF=AE，即證四邊形AFDE是菱形．

解答：解：結論：四邊形AFDE是菱形．
證明：∵∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB．
又∠FAB、∠FCB是同弧上的圓周角，
∴∠FAB=∠FCB，
同理∠EAC=∠EBC．
有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF．
∴AF∥ED，AE∥FD（內錯角相等兩直線平行）
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE=∠ACF，
∴

AF

=

AE

，
∴AF=AE．（同圓和等圓中等弧對等弦）
∴四邊形AFDE是菱形．

點評：本題利用了：角的平分線的性質，等邊對等角，圓周角定理，內錯角相等兩直線平行，菱形的判定方法．