Question

一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以AD為直徑的半圓O，下部是一個矩形ABCD．
（1）當AD=4米時，求隧道截面上部半圓O的面積；
（2）已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米．
①求隧道截面的面積S（米²）關于半徑r（米）的函數關系式（不要求寫出r的取值范圍）；
②若2米≤CD≤3米，利用函數圖象求隧道截面的面積S的最大值（π取3.14，結果精確到0.1米）．

Answer 1

分析：（1）已知直徑求半圓面積，簡單；
（2）截面面積=半圓面積+矩形面積．分別用含r的式子表示兩個部分的面積可得函數關系式，根據關系式畫圖回答問題．

解答：解：（1）當AD=4米時，
S_半圓=

1

2

π×（

AD

2

）²=

1

2

π×2²
=2π（米²）．（3分）

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8
∴CD=8-AD=8-2r（4分）
∴S=

1

2

πr²+AD•CD=

1

2

π r²+2r（8-2r）
⁼（

1

2

π-4）r²+16r．（8分）
②由①知CD=8-2r，
又∵2≤CD≤3，
∴2≤8-2r≤3，
∴2.5≤r≤3．（9分）
由①知S=（

1

2

π-4）r²+16r≈（

1

2

×3.14-4）r²+16r
=-2.43r²+16r（10分）
=-2.43(r-

800

243

)2+

600

243

∵-2.43＜0，
∴函數圖象為開口向下的拋物線．
∵函數對稱軸r=

8

2.43

≈3.3（11分）
又因為2.5≤r≤3＜3.3，
由函數圖象知，其圖象在對稱軸左側，函數為增函數，即S隨r的增大而增大，
故當r=3時，有S最大值．（12分）
S最大值=（

1

2

π-4）×3²+16×3
≈（

1

2

×3.14-4）×9+48
=26.13
≈26.1（米²）
答：隧道截面的面積S的最大值約為26.1米²．（13分）

點評：此題的最后一個問題應注意函數自變量的取值范圍，在此范圍內通過觀察圖象求出最值，往往并非是函數的最值．