Question

（2002•上海模擬）函數y=-

3

16

x²+3的圖象與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，過點A、B分別作y軸、x軸的平行線交直線y=kx于點M、N．
（1）用k表示S_△OBN：S_△MAO的值．
（2）當S_△OBN=

1

4

S_△MAO時，求圖象過點M、N、B的二次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先由拋物線的解析式求出點A、B的坐標，進而能得到M、N的坐標，以及AM、BN的長，OA、OB長易知，即可得到△OBN、△OMA的面積表達式，由此得解．
（2）將△OBN、△MAO的面積表達式代入S_△OBN=

1

4

S_△MAO中，求出k值后即可確定點M、N的坐標，再由待定系數法確定二次函數的解析式．

解答：解：（1）由y=-

3

16

x²+3知：點A（4，0）、B（0，3）；
當x=4時，y=kx=4k，即：M（4，4k）；
當y=3時，kx=3，x=

3

k

，即：N（

3

k

，3）；
∴AM=4|k|、BN=

3

|k|

；
∴S_△OBN=

1

2

OB•BN=

1

2

•3•

3

|k|

=

9

2|k|

，S_△MAO=

1

2

•OA•AM=

1

2

•4•4|k|=8|k|；
∴

S△OBN

S△MAO

=

9 2|k|

8|k|

=

9

16k2

．

（2）由S_△OBN=

1

4

S_△MAO，得：

S△OBN

S△MAO

=

1

4

，即：

9

16k2

=

1

4

，解得：k=±

3

2

；
當k=

3

2

時，M（4，6）、N（2，3）；
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，有：

16a+4b+c=6 4a+2b+c=3 c=3

，解得：

a= 3 8 b=- 3 4 c=3

∴拋物線的解析式：y=

3

8

x²-

3

4

x+3；
當k=-

3

2

時，M（4，-6）、N（-2，3），同理可求得拋物線的解析式為：y=-

3

8

x²-

3

4

x+3；
綜上，過點M、N、B的二次函數的解析式為：y=

3

8

x²-

3

4

x+3或y=-

3

8

x²-

3

4

x+3．

點評：此題主要考查了函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的解法以及圖形面積的求法等知識；本題中，k的符號并不明確，因此要防止漏解的情況發生．