【題目】如圖，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，并且始終保持AE=AD，連接CE.
（1）求證：△ABD ≌△ACE ；
（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究線段BD，DF，FC之間的數量關系，并證明；
（3）在(2)的條件下，若BD=3，CF=4，求AD的長.
【答案】(1)證明見解析；(2)BD2+FC2=DF2，理由見解析；（3）
.
【解析】
（1）根據垂直的定義以及直角，得到∠BAD=∠CAE，然后SAS證明即可；
（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠B=∠ACB=45°，然后由（1）的結論得到∠ACE=45°，BD=CE，從而得到∠FCE=90°，根據勾股定理得出
，再根據SAS證明△DAF≌△EAF，根據全等三角形的性質得到DF=FE，從而得到結論；
（3）過點A作
于G，根據（2）的結論得到DF=5，然后根據等腰直角三角形的性質求出DG，最后根據勾股定理求解即可.
(1)∵
∴
又∵
∴
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE；
（2）
理由如下：
連接FE， ∵
∴
由(1)知△ABD≌△ACE
∴
，
∴
∴
∴
∵AF平分
∴
在△DAF和△EAF中
∴△DAF≌△EAF
∴
.
∴
；
（3）過點A作于G
由(2)知
∴
∴
∵
∴
∴
∴在
中
.
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O，D分別為AB，BC的中點，連接OD，作⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF＝DO，連接DF．
（1）判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當∠A＝30°，CF
時，求⊙O的半徑．
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【題目】（2017江蘇省常州市）為了解某校學生的課余興趣愛好情況，某調查小組設計了“閱讀”、“打球”、“書法”和“其他”四個選項，用隨機抽樣的方法調查了該校部分學生的課余興趣愛好情況（每個學生必須選一項且只能選一項），并根據調查結果繪制了如下統計圖：
根據統計圖所提供的信息，解答下列問題：
（1）本次抽樣調查中的樣本容量是 ；
（2）補全條形統計圖；
（3）該校共有2000名學生，請根據統計結果估計該校課余興趣愛好為“打球”的學生人數．
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【題目】為了深化課程改革，某校積極開展校本課程建設，計劃成立“文學鑒賞”、“國際象棋”、“音樂舞蹈”和“書法”等多個社團，要求每位學生都自主選擇其中一個社團，為此，隨機調查了本校部分學生選擇社團的意向．并將調查結果繪制成如下統計圖表（不完整）：
選擇意向 | 文學鑒賞 | 國際象棋 | 音樂舞蹈 | 書法 | 其他 |
所占百分比 | a | 20% | b | 10% | 5% |
根據統計圖表的信息，解答下列問題：
（1）求本次抽樣調查的學生總人數及a、b的值；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）若該校共有1300名學生，試估計全校選擇“音樂舞蹈”社團的學生人數．
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【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，P為DC延長線上一點，AP分別交BD，BC于點M，N．
(1)圖中相似三角形共有_____對；
(2)證明：AM2＝MNMP；
(3)若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的長．
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【題目】已知，如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CD、CB上的點，且CE＝CF；
(1)求證：△ABE≌△ADF．
(2)若菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，∠EAF＝60°，求菱形ABCD的面積．
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【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC＝∠DCE，則下列結論不正確的是（ ）
A. BF=
DFB. S△AFD＝2S△EFBC. 四邊形AECD是等腰梯形D. ∠AEB＝∠ADC
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【題目】如圖，海中有一小島A，它周圍8海里內有暗礁，漁船由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．
(1)求∠BAD的度數；
(2)如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？
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