Question

已知拋物線yn＝－(x－a_n)²＋a_n(n為正整數，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)與x軸的交點為A_n－1(b_n－1，0)和A_n(b，0)，當n＝1時，第1條拋物線y₁＝－(x－a₁)²＋a₁與x軸的交點為A0(0，0)和A₁(b₁，0)，其他依次類推．

(1)求a₁，b₁的值及拋物線y₂的解析式；

(2)拋物線y3的頂點坐標為(________，________)；

依次類推第n條拋物線yn的頂點坐標為(________，________)(用含n的式子表示)；

所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是________；

(3)探究下列結論：

①若用A_n－1A_n表示第n條拋物線被x軸截得的線段長，直接寫出A₀A₁的值，并求出A_n－1A_n；

②是否存在經過點A(2，0)的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵y1＝―(x―a1)2＋a1與x軸交于點A0(0，0)， 　　∴―a12＋a1＝0，∴a1＝0或1． 　　由已知可知a1＞0， 　　∴a1＝1． 　　即y1＝―(x―1)2＋1 　　方法一：令y1＝0代入得：―(x―1)2＋1＝0， 　　∴x1＝0，x2＝2， 　　∴y1與x軸交于A0(0，0)，A1(2，0) 　　∴b1＝2， 　　方法二：∵y1＝―(x―a1)2＋a1與x軸交于點A0(0，0)， 　　∴―(b1―1)2＋1＝0，b1＝2或0，b1＝0(舍去)． 　　∴b1＝2． 　　又∵拋物線y2＝―(x―a2)2＋a2與x軸交于點A1(2，0)， 　　∴―(2―a2)2＋a2＝0， 　　∴a2＝1或4，∵a2＞a1，∴a2＝1(舍去)． 　　∴取a2＝4，拋物線y2＝―(x―4)2＋4． 　　(2)(9，9)； 　　(n2，n2) 　　y＝x． 　　詳解如下： 　　∵拋物線y2＝―(x―4)2＋4令y2＝0代入得：―(x―4)2＋4＝0， 　　∴x1＝2，x2＝6． 　　∴y2與x軸交于點A1(2，0)，A2(6，0)． 　　又∵拋物線y3＝―(x―a3)2＋a3與x軸交于A2(6，0)， 　　∴―(6―a3)2＋a3＝0 　　∴a3＝4或9，∵a3＞a3，∴a3＝4(舍去)， 　　即a3＝9，∴拋物線y3的頂點坐標為(9，9)． 　　由拋物線y1的頂點坐標為(1，1)，y2的頂點坐標為(4，4)，y3的頂點坐標為(9，9)，依次類推拋物線yn的頂點坐標為(n2，n2)． 　　∵所有拋物線的頂點的橫坐標等于縱坐標， 　　∴頂點坐標滿足的函數關系式是：y＝x； 　　(3)①∵A0(0，0)，A1(2，0)， 　　∴A0A1＝2． 　　又∵yn＝―(x―n2)2＋n2， 　　令yn＝0， 　　∴―(x―n2)2＋n2＝0， 　　即x1＝n2＋n，x2＝n2－n， 　　∴An－1(n2－n，0)，An(n2＋n，0)，即An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n． 　　②存在．是平行于直線y＝x且過A1(2，0)的直線，其表達式為y＝x－2．