Question

如圖△ABC中，AB=AC，EF∥BC，且⊙O內切于四邊形BCFE．
（1）當

AE

BE

=

1

2

時，sinB=

 

；
（2）當

AE

BE

=

1

n

時，sinB等于多少？請說明理由．

Answer 1

分析：作輔助線，利用圓的切線的性質構造直角三角形，求出相應各邊之間的長度比，即可求出三角函數值．

解答：解：連接AO并延長交EF于點D，交BC于點H，則AH⊥BC，連接OG，則OG⊥AB
（1）∵∠BAH+∠AOG=90°，∠B+∠BAH=90°
∴∠AOG=∠B，
∵EF∥BC
∴

AD

DH

=

AE

EB

=

1

2

設⊙O的半徑為r，則

AD

2r

=

1

2

∵AD=

2r

2

=r
∴AO=2r
又∵OG=r
∴AG=

(2r)2-r2

=

3

r
∴sinB=

3

2

；

（2）sinB=

2 n+1

n+2

．
設AB與⊙O相切于點G，連接OG，則OG⊥AB
∴∠AOG=∠B
∵EF∥BC
∴

AD

DH

=

AE

EB

=

1

n

設⊙O的半徑為r，則

AD

2r

=

1

n

∵AD=

2r

n

∴AO=AD+r=

n+2

n

r
又∵OG=r
∴AG=

AO2-OG2

=

( n+2 n r)2-r2

=

2 n+1

n

r
∴sinB=sin∠AOG=

AG

AO

=

2 n+1 2 r

n+2 n r

=

2 n+1

n+2

．

點評：解題時要仔細分析（1），雖然（1）較簡單，但是可以為（2）提供思路：求出各邊的比，再求三角函數值．