Question

如圖，已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直線AD，BC相交于點E，F是弦CD的中點，直線EF交弦AB于點G，求證：
（1）ED•EA=EC•EB；
（2）AG：GB=AE²：BE²．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，據此性質證△EDC∽△EAB，從而得證；
（2）根據三角形面積公式和CF=DF求出，=1，由正弦定理推出=1根據△EDC∽△EAB求出=，根據三角形面積公式求出==•，代入求出即可．
解答：證明：
（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴
故ED•EA=EC•EB；
（2）證明：∵△DEF的邊DF和△CEF的邊CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴=1，
由正弦定理得：===1
∵△EDC∽△EAB
∴=，
∴=1，
∴=，
∵△AEG邊AG和△BEG邊CG上的高相等，
∴===•=×，
即=．
點評：此題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，解答此題的關鍵是運用好圓內接四邊形的性質和三角形的面積公式．