Question

某超市經銷一種銷售成本為每件40元的商品．據市場調查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件，若銷售單價每漲1元，每周銷售量就減少10件．設銷售單價為每件x元（x≥50），一周的銷售量為y件．
（1）寫出y與x的函數關系式．（標明x的取值范圍）
（2）設一周的銷售利潤為S，寫出S與x的函數關系式，并確定當單價在什么范圍內變化時，利潤隨著單價的增大而增大？
（3）在超市對該種商品投入不超過10 000元的情況下，使得一周銷售利潤達到8 000元，銷售單價應定為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得y=500-10（x-50）．
（2）用配方法化簡1的解析式，可得y=-10（x-70）²+9000．當50≤x≤70時，利潤隨著單價的增大而增大．
（3）令y=8000，求出x的實際取值．
解答：解：
（1）由題意得：
y=500-10（x-50）=1000-10x（50≤x≤100）（3分）

（2）S=（x-40）（1000-10x）=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000
當50≤x≤70時，利潤隨著單價的增大而增大．（6分）

（3）由題意得：-10x²+1400x-40000=8000
10x²-1400x+48000=0
x²-140x+4800=0
即（x-60）（x-80）=0
x₁=60，x₂=80（8分）
當x=60時，成本=40×[500-10（60-50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．
當x=80時，成本=40×[500-10（80-50）]=8000＜10000符合要求．
∴銷售單價應定為80元，才能使得一周銷售利潤達到8000元的同時，投入不超過10000元．（10分）
點評：本題考查的是二次函數的應用，用配方法求出最大值．