Question

在△ABC中，D為AC的中點，將△ABD繞點D順時針旋轉α°（0＜α＜360）得到△DEF，連接BE、CF．
（1）如圖，若△ABC為等邊三角形，BE與CF有何數量關系？證明你的結論﹔
（2）若△ABC為等邊三角形，當α的值為多少時，ED∥AB？
（3）若△ABC不是等邊三角形時，（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請添加一個條件，使得結論成立．（不必證明，不再添加其它的字母和線段）

Answer 1

【答案】分析：（1）BE=CF，理由為：由BD為等邊三角形ABC的中線，利用三線合一得到BD垂直于AC，得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，再由旋轉的性質及D為中點得到DE=DC，BD=FD，利用SAS得出三角形EBD與三角形CDF全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠A=60°，利用平行線的判定即可得出旋轉角α的度數；
（3）若△ABC不是等邊三角形時，（1）中結論不成立，需添加的條件為AB=BC，證明方法同（1）．
解答：解：（1）BE=CF，理由為：
證明：∵BD為等邊△ABC的中線，
∴BD⊥AC，即∠BDA=∠BDC=90°，
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠EDA+∠BDA=∠FDB+∠BDC，即∠EDB=∠CDF，
由旋轉的性質得到DE=DA=DC，BD=FD，
∵在△EDB和△CDF中，
，
∴△EDB≌△CDF（SAS），
∴BE=CF；

（2）α=60°或240°，
當α=60°時，由△ABC為等邊三角形，得到∠A=60°，
∴∠A=∠EDA=60°，
∴ED∥AB；
當α=240°時，∠A=∠EDC=60°，
∴ED∥AB；

（3）不成立，添加的條件為AB=BC，
理由為：∵AB=BC，BD為中線，
∴BD⊥AC，即∠BDC=∠BDA=90°，DA=DC，
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠EDA+∠BDA=∠FDB+∠BDC，即∠EDB=∠CDF，
由旋轉的性質得到BD=FD，DA=DC=DE，
∵在△EDB和△CDF中，
，
∴△EDB≌△CDF（SAS），
∴BE=CF．
點評：此題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．