Question

如下圖，已知直線l₁∥l₂，l₃、l₄和l₁、l₂分別交于點A、B、C、D，點P在直線l₃或l₄上且不與點A、B、C、D重合。記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。
（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；
（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系；
（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關系并給予證明；
（4）若點P在C、D兩點外側運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系。

Answer 1

解：（1）證明：過P作PQ∥l₁∥l₂，
由兩直線平行，內錯角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2。
（2）∠3=∠2﹣∠1；
證明：過P作直線PQ∥l₁∥l₂，
則：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1。

（3）∠3=360°﹣∠1﹣∠2。
證明：過P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2。
（4）過P作PQ∥l₁∥l₂；
①當P在C點上方時，
同（2）可證：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2。
②當P在D點下方時，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上。
綜上可知：當P在C點上方時，∠3=∠1﹣∠2，
當P在D點下方時，∠3=∠2﹣∠1。