Question

線段AB、CD交于點O，∠ACE=∠AOD，連接ED、EB、CB、DB．
（1）如圖1，當∠ACE=∠AOD=90°，AC=CE，AB=CD時，
①求證：△ABC≌△CDE；
②順次連接EC、EB、BD、CD的中點M、N、P、Q，得到四邊形MNPQ，請判斷四邊形MNPQ的形狀，并說明理由．（2）如圖2，當∠ACE=∠AOD≠90°，但扔滿足AC=CE，AB=CD時，重復（1）中②的操作，請你直接寫出四邊形MNPQ的形狀．
（3）如圖3，當∠ACE=∠AOD=90°.

AC

CE

=

AB

CD

≠1時，重復（1）中②的操作，請你直接寫出四邊形MNPQ的形狀．

Answer 1

分析：（1）①求出∠BAC=∠DCE，根據SAS證出△ABC≌△CDE即可．
②延長DE交BC于F，交AB于Z，交ON于O′，根據全等三角形的性質得出BC=DE，∠CBA=∠CDE，求出∠BFD=90°，根據三角形的中位線得出MN=

1

2

BC，MN∥BC，PQ=

1

2

BC，PQ∥BC，MQ=

1

2

DE，MQ∥DE，推出PQ=MN，PQ∥MN，推出MN=MQ，∠QMN=∠DMN=∠BFD=90°，根據正方形的判定推出即可．
（2）得出四邊形MNPQ是平行四邊形，推出MN=MQ，即可得出答案．
（3）四邊形MNPQ是矩形，求出四邊形MNPQ是平行四邊形，證△ABC∽△CDE推出∠CBA=∠CDE，推出∠BFD=90°即可．

解答：
（1）①證明：如圖1，
∵∠ACE=∠AOD=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BAC+∠ACD，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，

AC=CE ∠BAC=∠DCE AB=DC

，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．

②解：四邊形MNPQ的形狀是正方形，如圖2，
理由是：延長DE交BC于F，交AB于Z，交ON于O′，
∵△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，∠CBA=∠CDE，
∵∠AOD=∠CDE+∠AZD=90°，∠AZD=∠BZF，
∴∠ABC+∠BZF=90°，
∴∠BFD=90°，
∵M為CE中點，N為BE中點，
∴MN=

1

2

BC，MN∥BC，
同理PQ=

1

2

BC，PQ∥BC，MQ=

1

2

DE，MQ∥DE，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，
∵DE=BC，
∴MN=MQ，
∴平行四邊形MNPQ是菱形．

（3）四邊形MNPQ是矩形，如圖3，
理由是：∵M為CE中點，N為BE中點，
∴MN=

1

2

BC，MN∥BC，
同理PQ=

1

2

BC，PQ∥BC，MQ=

1

2

DE，MQ∥DE，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，
∵∠ACE=∠AOD=90°.

AC

CE

=

AB

CD

≠1，
∴△ABC∽△CDE，
∴∠CBA=∠CDE，
∵∠AOD=∠CDE+∠AZD=90°，∠AZD=∠BZF，
∴∠ABC+∠BZF=90°，
∴∠BFD=90°，
∵MN∥BC，MQ∥DE，
∴∠QMN=∠DMN=∠BFD=90°，
∴四邊形MNPQ是矩形．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的中位線的性質，平行線的性質和判定，正方形、平行四邊形、菱形、矩形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．