Question

如圖，在?OABC中，點A在x軸上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．動點P從點0出發，以1cm/s的速度沿線段OA→AB運動；動點Q同時從點O出發，以acm/s的速度沿線段OC→CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
（1）填空：點C的坐標是（______，______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥OA于E，連接OB，由∠AOC=60°，0C=4cm，利用三角函數求得OD與CD的長，即可得點C的坐標；又由四邊形OABC是平行四邊形，可得BE與AB的長，繼而求得AE的長，然后由勾股定理，即可求得對角線OB的長度；
（2）分別從當0＜t≤4時，當4≤t≤8時與當8≤t≤12時去分析求解即可求得答案；
（3）分別從當△OPM∽△OAB與當△OPM∽△OBA時去分析，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解答： 解：（1）過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥OA于E，連接OB，
∵∠AOC=60°，0C=4cm，
∴OD=0C•cos60°=4×=2（cm），CD=OC•sin60°=4×=2（cm），
∴C（2，2），
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC=4cm，BC∥OA，
∴BE=CD=2cm，
∴AE==2（cm），
∵OA=8cm，
∴OE=OA+AE=10（cm），
∴OB==4cm．…（4分）

（2）①當0＜t≤4時，
過點Q作QD⊥x軸于點D（如圖1），則QD=t．
∴S=OP•QD=t²．…（5分）

②當4≤t≤8時，
作QE⊥x軸于點E（如圖2），則QE=2．
∴S=OP•QE=t． …（6分）

③當8≤t＜12時，
解法一：延長QP交x軸于點F，過點P作PH⊥AF于點H（如圖3）．
∴△PBQ與△PAF均為等邊三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t-8．
∴PH=（t-8）．…（7分）
∴S=S_△OQF-S_△OPF
=t•2-t•（t-8）
=-t²+3t． …（8分）
當t=8時，S最大． …（9分）

解法二：過點P作PH⊥x軸于點H（如圖3）．
∴△PBQ為等邊三角形．
∵AP=t-8．
∴PH=（t-8）． …（7分）
∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ-S_△OAP=（20-t）-（12-t）²-2（t-8）．
=-t²+3t． …（8分）
當t=8時，S最大． …（9分）

（3）①當△OPM∽△OAB時（如圖4），則PQ∥AB．
∴CQ=OP．
∴at-4=t，a=1+．…（10分）
t的取值范圍是0＜t＜8． …（11分）

②當△OPM∽△OBA時（如圖5），
則，
∴，
∴OM=． …（12分）
又∵QB∥OP，
∴△BQM∽△OPM，
∴，
∴，
整理得t-at=2，
∴a=1-．…（13分）
t的取值范圍是6≤t≤8．
綜上所述：a=1+（0＜t＜8）或a=1-（6≤t≤8）． …（14分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、直角三角形的性質、勾股定理三角函數、二次函數的最值以及三角形面積問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意數形結合思想、分類討論思想與函數思想的應用．