Question

如圖，函數y=-

1

2

x+2的圖象交y軸于M，交x軸于N，點P是直線MN上任意一點，PQ⊥x軸，Q是垂足，設點Q的坐標為（t，0），△POQ的面積為S（當點P與M、N重合時，其面積記為0）．

（1）試求S與t之間的函數關系式；
（2）在如圖所示的直角坐標系內畫出這個函數的圖象，并利用圖象求使得S=a（a＞0）的點P的個數．

Answer 1

分析：本題要根據題意把各種情況都討論出來，同時把△POQ的面積表示出來．（2）要根據題意列式整理分析，在根據解析式畫出圖象．

解答：解：
解法1：（1）①當t＜0時，OQ=-t，PQ=-

1

2

t+2，
∴S=

1

2

•(-t)(-

1

2

t+2)=

1

4

t2-t；
②當0＜t＜4時，OQ=t，PQ=-

1

2

t+2，
∴S=

1

2

•t(-

1

2

t+2)=-

1

4

t2+t；
③當t＞4時，OQ=t，PQ=-(-

1

2

t+2)=

1

2

t-2，
∴S=

1

2

•t(

1

2

t-2)=

1

4

t2-t；
④當t=0或4時，S=0；
于是，S=

1 4 t2-t(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t(0≤t≤4)

（6分）；

（2）S=

1 4 t2-t= 1 4 (t-2)2-1(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t=- 1 4 (t-2)2+1(0≤t≤4)

下圖中的實線部分就是所畫的函數圖象．（12分）
觀察圖象可知：
當0＜a＜1時，符合條件的點P有四個；
當a=1時，符合條件的點P有三個；
當a＞1時，符合條件的點P只有兩個．（15分）
解法2：（1）∵OQ=|t|，PQ=|-

1

2

t+2|=|

1

2

t-2|，
∴S=

1

2

|t|•|

1

2

t-2|=

1

4

|t2-4t|（4分）
（2）S=

1

4

|t2-4t|=

1 4 t2-t(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t(0≤t≤4)

（6分）
以下同解法1．

點評：本題考查一次函數有關分情況討論的問題，解題中要注意對各種情況做出準確分析，尤其是t值做好取值范圍的分段，