Question

鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作：在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；…依次類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形．如圖1，?ABCD中，若AB＝1，BC＝2，則?ABCD為1階準菱形．
(1)判斷與推理：

①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是________階準菱形；
②小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2，把?ABCD沿BE折疊(點E在AD上)，使點A落在BC邊上的點F，得到四邊形ABFE.請證明四邊形ABFE是菱形．
(2)操作、探究與計算：
①已知?ABCD的鄰邊長分別為1，a(a＞1)，且是3階準菱形，請畫出?ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值；
②已知?ABCD的鄰邊長分別為a，b(a＞b)，滿足a＝6b＋r，b＝5r，請寫出?ABCD是幾階準菱形．

Answer 1

（1）①2  ②見解析  （2）①圖形見解析   ②10階準菱形

解：(1)①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進行兩次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，故鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形：

②由折疊知：∠ABE＝∠FBE，AB＝BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∴AE＝BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴四邊形ABFE是菱形；
(2)①如圖所示：


②∵a＝6b＋r，b＝5r，
∴a＝6×5r＋r＝31r；
如圖所示：

故?ABCD是10階準菱形．