Question

定義A=、B=（a，b，m均為有理數）都是無理數，滿足：①A+B=2a為有理數，②AB=a²-mb²為有理數．稱A、B兩數為一對共軛數．（如：，，∵+=6，=，∴，是一對共軛數）．
（1）已知，x₁，x₂是方程x²-4x=2的兩個根，求x₁、x₂的值，并判別x₁、x₂是否是一對共軛數？
（2）在（1）的條件下，試判別x₁²、x₂²是否是一對共軛數？

Answer 1

解：（1）由方程x²-4x-2=0
解得：x₁==2+
x₂=2-
檢驗：x₁+x₂=4=2×2，x₁，x₂=-1=4-5×1=-1
故x₁，x₂是一對共軛數．

（2）x₂²=（2-）²=10-4，x₁²=（2+）²=10+4，
x₁²+x₂²=20，
x₁²x₂²=4．
故x₁²、x₂²是一對共軛數．
分析：（1）求得方程x²-4x=2的兩個根后，檢驗是否本題所說的條件即可．
（2）由（1）求得兩根，再求得x₁²、x₂²的值，看是否符合其定義．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．并要根據共軛數的定義，計算出代數來判斷．