Question

【題目】我們不妨約定：在直角△ABC中，如果較長的直角邊的長度為較短直角邊長度的兩倍，則稱直角△ABC為黃金三角形

（1）已知：點O（0，0），點A（2，0），下列y軸正半軸上的點能與點O，點A構成黃金三角形的有　　；填序號①（0，1）；②（0，2）；③（0，3），④（0，4）；

（2）已知點P（5，0），判斷直線y=2x-6在第一象限是否存在點Q，使得△OPQ是黃金三角形，若存在求出點Q的坐標，若不存在，說明理由；

（3）已知：反比例函數與直線y=-x+m+1交于M，N兩點，若在x軸上有且只有一個點C，使得∠MCN=90，求m的值，并判斷此時△MNC是否為黃金三角形．

Answer 1

【答案】（1）①④；（2）Q坐標為（5，4）；（3）是黃金三角形

【解析】

（1）根據黃金三角形的定義即可判斷．
（2）假設存在．設Q(m,2m6)，分兩種情形分別求解即可．
（3）設M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中點為k，當點K到x軸的距離等于時，滿足條件．根據一元二次方程的根與系數的關系，構建方程求出m即可判斷．

解：（1）因為點（0，0），點（2，0），根據黃金三角形的定義可知在y軸正半軸上的點

與原點的線段長度為1或者4，故結合題目可知與點，點構成黃金三角形的有或，故答案為①④．

（2）假設存在．設，

是直角三角形，當是直角三角形時，，

，解得：和4，

點在第一象限，，，

，，，是黃金三角形，

當時，，此時不滿足黃金三角形的定義．

滿足條件點點坐標為．

（3）設，，，，的中點為，當點到軸的距離等于 時，滿足條件．

由，消去得到：，

，，．，

，，，

整理得：，，

如圖，作軸于．

直線的解析式為，

，，

，，

，，

，不是黃金三角形．