Question

（2013•烏魯木齊）如圖，半圓O與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于D、E兩點，直徑FG在AB上，若BG=

2

-1，則△ABC的周長為（　　）

• A．4+2

  2

• B．6
• C．2+2

  2

• D．4

Answer 1

分析：首先連接OD，OE，易證得四邊形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先設OE=r，由OB=

2

OE=

2

r，可得方程：

2

-1+r=

2

r，解此方程，即可求得答案．

解答：解：連接OD，OE，
∵半圓O與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于D、E兩點，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OE，
∵∠A=∠B=45°，
∴△OEB是等腰直角三角形，
設OE=r，
∴BE=OG=r，
∴OB=OG+BG=

2

-1+r，
∵OB=

2

OE=

2

r，
∴

2

-1+r=

2

r，
∴r=1，
∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+

2

-1）=2

2

．
∴△ABC的周長為：AC+BC+AB=4+2

2

．
故選A．

點評：此題考查了切線的性質、正方形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．