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如圖所示,在△ABC中,已知D是BC邊上的點,O為△ABD的外接圓圓心,△ACD的外接圓與△AOB的外接圓相交于A,E兩點.求證:OE⊥EC.

【答案】分析:要證OE⊥EC,就要得出∠OEC=90°,連接AE,BE,OA,OB,根據OA=OB,不難得出∠AEO=∠BEO=∠AEB,由于四邊形AOBE是圓的內接四邊形,因此∠AOB+∠AEB=180°,那么只需證∠AEC=∠AOB即可.連接AD,根據圓周角定理∠ADC=∠AEC,在優(yōu)弧AB上,求一點F,連接AF,BF,那么四邊形ADBF就是圓O的內接四邊形,∠ADC=∠F,而∠F=∠AOB=∠AEC,由此可得證.
解答:證明:如圖,在上取點F,連接AF,BF,AO,BO,AD,AE,BE,則
∵A,D,B,F共圓,A,D,E,C共圓
∴∠AEC=∠ADC=∠F=∠AOB
∵AO=BO

∴∠AEO=∠BEO=∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=(∠AOB+∠AEB)=90°
∴OE⊥EC.
點評:本題主要考查了圓周角定理和圓的內接四邊形等知識點,通過輔助線來構建圓的內接四邊形和與所求相關的圓周角是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖所示,在△ABC中,∠A=47°,∠C=77°,DE∥BC,BF平分∠ABC,BF交DE于點F,求∠BFE的度數.

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精英家教網如圖所示,在△ABC中,D是AC的中點,E是線段BC延長線上一點,過點A作AF∥BC交ED的延長線于點F,連接AE,CF.
求證:(1)四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)FG•BE=CE•AE.

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15、如圖所示,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AB和AC,交BC于D、E,若∠DAE=50°,則∠BAC=
115
度,若△ADE的周長為19cm,則BC=
19
cm.

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精英家教網如圖所示,在△ABC中,AB=AC,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E,交AC于D,若△BCD的周長為18cm,△ABC的周長為30cm,那么BE的長為
 

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如圖所示,在△ABC中,BC=7cm,AB=25cm,AC=24cm,P點在BC上從B點向C點運動(不包括點C),點P的運動速度為2cm∕s;Q點在AC上從C點向點A運動(不包括點A),運動速度為5cm∕s,若點P、Q分別從B、C同時運動,請解答下面的問題,并寫出主要過程.
(1)經過多長時間后,P、Q兩點的距離為5
2
cm?
(2)經過多長時間后,△PCQ面積為15cm2?

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