Question

如圖所示，在△ABC中，已知D是BC邊上的點，O為△ABD的外接圓圓心，△ACD的外接圓與△AOB的外接圓相交于A，E兩點．求證：OE⊥EC．

Answer 1

【答案】分析：要證OE⊥EC，就要得出∠OEC=90°，連接AE，BE，OA，OB，根據OA=OB，不難得出∠AEO=∠BEO=∠AEB，由于四邊形AOBE是圓的內接四邊形，因此∠AOB+∠AEB=180°，那么只需證∠AEC=∠AOB即可．連接AD，根據圓周角定理∠ADC=∠AEC，在優(yōu)弧AB上，求一點F，連接AF，BF，那么四邊形ADBF就是圓O的內接四邊形，∠ADC=∠F，而∠F=∠AOB=∠AEC，由此可得證．
解答：證明：如圖，在上取點F，連接AF，BF，AO，BO，AD，AE，BE，則
∵A，D，B，F共圓，A，D，E，C共圓
∴∠AEC=∠ADC=∠F=∠AOB
∵AO=BO
∴
∴∠AEO=∠BEO=∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=（∠AOB+∠AEB）=90°
∴OE⊥EC．
點評：本題主要考查了圓周角定理和圓的內接四邊形等知識點，通過輔助線來構建圓的內接四邊形和與所求相關的圓周角是解題的關鍵．