Question

如圖所示，直角梯形的直角頂點是坐標原點，邊、分別在軸、軸的正半軸上，，是上一點，，其中點、分別是線段、上的兩個動點，且始終保持。

1.直接寫出點的坐標

2.求證：;

3.當是等腰三角形時，△AEF關于直線EF的對稱圖形為，求與五邊形OEFBC的重疊部分的面積.

                                         備用圖

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：..……..1分

2.證明：由，知，

  

者利用外角證明：∠OEF＝∠OED＋∠DEF＝∠A＋∠EFA，∵∠DEF＝∠A＝45°，.……..3分

3.解：分三種情況來計算：

第一種情況：，此時，

  .……..4分

第二種情況 ：，此時，

.……..5分

第三種情況：，

此時△，△均為等腰三角形，

且可求＜，∴△在五邊形內部，

..……..7分

綜上：＝，1，.

【解析】（1）過B作x軸的垂線，設垂足為M，由已知易求得OA=4，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度數及AB的長，即可求出AM、BM的長，進而可得到BC、CD的長，由此可求得D點的坐標；

（2）先求出∠OED、∠AFE與∠FEA的等量關系，從而得出；

（3）若△AEF是等腰三角形，應分三種情況討論：

①AF=EF，此時△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延長線上，重合部分是四邊形EDBF，其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得；

②AE=EF，此時△AEF是等腰Rt△，且E是直角頂點，此時重合部分即為△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四邊形AEDB是平行四邊形，則AE=BD，進而可求得重合部分的面積；

③AF=AE，此時四邊形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此時OD=OE=3，由此可求得AE、AF的長，過F作x軸的垂線，即可求出△AEF中AE邊上的高，進而可求得△AEF（即△A′EF）的面積．