Question

如圖所示，已知點A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，拋物線經過A、B、C三點，點P（2，m）是拋物線與直線l：y=k（x+1）的一個交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）對于動點Q（1，n），求PQ+QB的最小值；
（3）若動點M在直線l上方的拋物線上運動，求△AMP的邊AP上的高h的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知tan∠BAC=3，所以可求得點C的坐標，根據待定系數法，即可求得二次函數的解析式；
（2）因為點P在拋物線上，所以可求得m的值，即可求得直線l的解析式，根據題意可得點Q在直線x=1上，可知點Q在拋物線的對稱軸上，有兩點間線段最短可知直線AP與拋物線的對稱軸的交點即是點Q；求得AP的值即可；
（3）可首先求得△APM的最大值，利用圖形面積的拼湊方法即可求得，再根據面積公式求得h的最大值即可．

解答：解：（1）∵tan∠BAC=3，
∴

OC

OA

=

OC

1

=3，
∴OC=3，
∴點C的坐標為（0，3），
∴t=3，
將點A、B、C的坐標代入二次函數解析式得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵點P（2，m）在拋物線上，
∴m=3，
∴點P的坐標為（2，3），
∴3=3k，
∴k=1，
∴直線l的解析式為y=x+1，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴此函數的對稱軸為x=1，
∴點Q在拋物線的對稱軸上，
∴點B關于對稱軸的對稱點為點A，
∴設直線AP的解析式為y=kx+b，
∴

-k+b=0 2k+b=3

，
∴

k=1 b=1

，
∴直線AP的解析式為y=x+1，
∴點Q的坐標為（1，2），
∴PQ+QB=PA=

(2+1)2+(3-0)2

=3

2

；

（3）過點P作PN⊥x軸于點N，過點M作MK⊥x軸于點K，
設點M的坐標為（x，-x²+2x+3），
∴S_△APM=S_△AKM+S_梯形PNKM-S_△PNA，
=

1

2

（1+x）（-x²+2x+3）+

1

2

（-x²+2x+3+3）（2-x）-

1

2

×3×3，
=-

3

2

（x²-x-2），
=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，
∴△APM的最大值為

27

8

，
∵AP的長度不變，
∴△AMP的邊AP上的高h的最大值為

9 2

8

．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用，要注意待定系數法球函數的解析式，還要注意利用二次函數求最大值，注意數形結合思想的應用．