Question

已知，如圖，E、F分別為△ABC的邊BC、CA的中點，延長EF到D，使得DF=EF，連接DA，DC，AE．
（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；
（2）若AB=AC，試證明四邊形AECD是矩形．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：EF是△ABC的中位線，則可得EF∥AB，EF=

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AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ABED是平行四邊形；
（2）由（1）可得四邊形AECD是平行四邊形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根據對角線相等的平行四邊形是矩形，可得四邊形AECD是矩形．

解答：證明：（1）∵E、F分別為△ABC的邊BC、CA的中點，
∴EF∥AB，EF=

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2

AB，（2分）
∵DF=EF，
∴EF=

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DE，（3分）
∴AB=DE，（4分）
∴四邊形ABED是平行四邊形；（5分）

（2）∵DF=EF，AF=CF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，（6分）
∵AB=AC，AB=DE，
∴AC=DE，（7分）
∴四邊形AECD是矩形．（8分）

或∵DF=EF，AF=CF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，（6分）
∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEC=90°，（7分）
∴四邊形AECD是矩形．（8分）

點評：此題考查了平行四邊形的判定（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）、矩形的判定（對角線相等的平行四邊形是矩形）以及三角形中位線的性質（三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半）．解題的關鍵是仔細分析圖形，注意數形結合思想的應用．